Lleis de Kirchhoff

Llei general de Kirchhoff: Les gallines que entren per les que surten

1a Llei de Kirchhoff:

En un node es compleix la llei de la conservació de la càrrega

Σ Q = 0

Dividint per t als 2 membres de l'equació tot queda igual

Σ (Q/t) = 0/t

Com que I = Q/t resulta

O, cosa que és el mateix, els corrents que entren en un node han de ser igual als corrents que surten.

2a Llei de Kirchhoff:

En una malla es compleix la llei de la conservació de l'energia

Σ W = 0

Dividint els dos membres de l'equació per la càrrega Q tot queda igual:

Σ W / Q = 0 / Q

Com que V = W / Q (o, el que és el mateix: V · Q = W, ó V · Q / t = W / t ó V · I = P)

O, cosa que és el mateix, les forces electromotrius que generen les fonts de voltatge d'una malla han de caure, en forma de tensió, a les càrregues d'aquella. 

Exemple:

1r. pas: Ubicació de nodes i malles i definició dels corrents.

2n. pas: Aplicació 1ª llei de Kirchhoff al node 1

I₁ + I₂ - I₃ = 0

o, també: 

I₃ = I₁ + I₂

3r. pas: Aplicació 2ª llei de Kirchhoff a la malla 1, seguint sempre el criteri següent:

I

-2 + 2 · I₁ + 4 · I₃ = 0

o, també:

1 · I₁ + 0 · I₂ + 2 · I₃  = 1 

4t. pas: Aplicació 2ª llei de Kirchhoff a la malla 2

6 - 4 · I₃ - 1 · I₂  = 0

o, també:

0 · I1 + 1 · I₂ + 4 · I₃ = -6

Tenim 3 incògnites (I1, I2, I3) i un sistema de 3 equacions: 

1 · I₁ + 1 · I₂  - 1 · I₃  = 0

1 · I₁ + 0 · I₂ + 2 · I₃  = 1

0 · I₁ + 1 · I₂ + 4 · I₃  = -6

Ho posem en forma de matriu de coeficients:

\(\begin{bmatrix}1 &1 & -1\\1 & 0 & 2\\0 & 1 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I1\\I2\\I3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\\6\end{bmatrix}\)

Resumit: [M][I]=[V]

\(M = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix}\)

\(M1 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 2\\ 6 & 1 & 4 \end{vmatrix}\)

\(M2 = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 2\\ 0 & 6 & 4 \end{vmatrix}\)

\(M3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 6 \end{vmatrix}\)

I els seus determinants:

|M|  = [(1·0·4)+(1·2·0)+(1·1·(-1))]-[(-1·0·0)+(1·1·4)+(2·1·1)] = -7

|M₁| = [(0·0·4)+(1·2·6)+(1·1·(-1))]-[(-1·0·6)+(1·1·4)+(2·1·0)] =  7

|M₂| = [(1·1·4)+(0·2·0)+1·6·(-1))]-[(-1·1·0)+(0·1·4)+(2·6·1)] = -14

|M₃| = [(1·0·6)+(1·1·0)+(1·1·0)]-[(0·0·0)+(1·1·6)+(1·1·1)]      = -7

Pel mètode de Cramer:

I₁ = |M₁| / |M| = -1,00 [A]

I₂ = |M₂| / |M| = 2,00 [A]

I₃ = |M₃| / |M| = 1,00 [A]

Els voltatges que cauen a cada resistència són:

V₁ = 2 · I₁ = -2,00 [V]

V₂ = 1 · I₂ =  2,00 [V]

V₃ = 4 · I₃ =  4,00 [V]

Les potències que dissipen cada resistència són:

P₁ = V₁ · I₁ = 2,00 [w]

P₂ = V₂ · I₂  = 4,00 [w]

P₃ =V₃ · I₃ =  4,00 [w]

Comprovant-ho amb el simulador (posa els components indestructibles per a que no petin per massa potència)