Números complexos

VOLTATGE I INTENSITAT SÓN NÚMEROS COMPLEXOS

El voltatge (o tensió) o la intensitat (o corrent) es poden representar amb l'eina matemàtica del fasor (que té 2 components -part real R i imaginària I).

V = V_R + j · V_I

I = I_R + j · I_I

Això es diu nombre complex.

QUÈ ÉS UN NÚMERO COMPLEX

\(z = r \cdot e^{j\phi} = \color{red}{ r \cdot \cos(\phi) + j \cdot r \cdot \sin(\phi)} = \color{blue}{a + j \cdot b}\)

POLAR -> TRIGONOMÈTRICA -> CARTESIANA

Exercici 1:

Representa gràficament el número complex que té una part real de 4 i imaginària de 2

Escriu-ho en forma cartesiana

Troba el valor del mòdul (mida)

Troba el valor de la fase (angle)

Escriu-lo en forma polar

Exercici 2:

Representa gràficament el número complex 5 + 3j

Posa-l en forma polar

Exercici 3:

Representa gràficament el número complex 10 e^2j

Posa'l en forma cartesiana

OPERACIONS AMB COMPLEXOS

Si tenim:

c = a + j · b

d = e + j · f

La suma:

c + d = (a + e) + j · (b + f)

La resta:

c - d = (a - e) + j · (b - f)

La multiplicació:

c · d = (a + j · b) · ( e + j · f)

c · d = a · e + j · a · f + j · b · e + b · f (j)²

c · d = a · e + j · a · f + j · b · e - b · f

c · d = (a · e - b · f) + j · (a · f + b · e)

En forma polar:

c = |c| · e^jφ_c

d = |d| · e^jφ_d

c · d = |c| · |d| · e^{j(φ_c + φ_d)}

La divisió:

c / d = (a + j · b) / (e + j · f)

Per a eliminar la "j" del denominador ho podem aconseguir multiplicant numerador i denominador pel CONJUGAT (el mateix canviant el signe de la part imaginària) del denominador

c / d = (a + j · b) ·  (e - j · f) / (e + j · f) ·  (e - j · f)

c / d = (a · e - j · a · f + j · b · e + b · f) / (e² - j · e · f + j · e · f + f²) 

c / d = ((a · e + b · f) + j · (b · e - a · f)) / (e² + f²)

En forma polar:

c / d = (|c| / |d|) · e^{j(φ_c - φ_d)}

Exercici 4:

Si:

c = 3 - j · 2

d = 5 + j · 7

Calcula c + d:

c + d = (3 + 5) + j · (-2 + 7)

c + d = 8 + j · 5

Calcula c - d

c - d = (3 - 5) + j · (-2 - 7)

c - d = -2 - j · 9

Calcula c · d en cartesià:

c · d = (3 - j · 2) · (5 + j · 7)

c · d = 15 + j · 21 - j · 10 + 14

c · d = 29 + j · 11

Calcula c · d en polar:

Calculem primer c i d en polar:

c = 3,605|_-0,5880

d = 8,602|_0,9505

c · d = 31,01|0,3625

Calcula c / d en cartesià:

\(\frac{c}{d} = \frac{(3 - j · 2)}{(5 + j · 7)}\)

\(\frac{c}{d} = \frac{(3 - j · 2)·(5 - j · 7)}{(5 + j · 7)· (5 - j · 7)}\)

\(\frac{c}{d} = \frac{15 - j · 21 - j · 10 - 14}{(25 + 49)}\)

\(\frac{c}{d} = \frac{(1 - j · 31)}{74}\)

\(\frac{c}{d} = 0,031 - j · 0,4189\)

Calcula c / d en polar:

c / d = 0,4189 · e^j-1,539

Vídeo sobre els nombres complexos