Conceptes matemàtiques per a mecanismes
Radian:
Angle en una circumferència corresponent a un arc de longitud igual al radi.
Longitud de l'arc = Angle en radians · Radi
L = α · R
En el cas de que l'angle sigui = 1 [rad] → L = R
En el cas de tota la longitud de la circumferència:
Longitud de la circumferència = 2 · π · Radi
Per això el número PI és 3,14 i surt de la divisió de la longitud de la circumferència pel diàmetre:
Per a un angle qualsevol d'x [º], sabent que 360 [º] són 2π [rad], fent una regla de 3:
| x [rad] = x [º] * 2 * π (rad) / 360 [º] |
I el contrari:
| x [º] = x [rad] * 360 [º] / 2 * π (rad) |
Exemple: Quan val en [rad] un angle de 30 [º]
30 [º] · 2 · π [rad] / 360 [º] = π / 60 [rad]
Exemple: Quan val en [º] un angle de 5 [rad]
5 [rad] · 360 [º] / 2 · π [rad] = 286,48 [º]
Pot ser un angle més gran de 360 [º] o de 2π [rad]?
Si, voldrà dir que es pega més d'una volta.
Per exemple un angle de 370 [º] és una volta sencera (360 [º]) i 10 [º] més
Igualment en radians. Pot haver angles majors de 6,28 (2π) [rad]
En el cas anterior: 6,45 = 6,28 + 0,17
Poden haver angles negatius (menors de 0 [º])?
Si. Es consideren per conveni angles positius en el sentit contrari a les agulles del rellotge (sentit anti horari) i negatiu en sentit de les agulles del rellotge (sentit horari).
Per exemple un angle de 340 [º] és equivalent a un de 340 [º] - 20 [º] = -20 [º]
Igualment en radians. Pot haver angles menors de 0 [rad]
En el cas anterior: 5,93 = 6,28 - 0,35
Velocitat angular:
El número de voltes (o revolucions) que fa una roda per minut ([r.p.m.]).
També es mesura en [radians / sg].
Entre la velocitat angular w d'una roda i la velocitat lineal v dels seus punts hi ha la relació següent:
Des de:
L = α · R
Si dividim pel temps als dos membres:
L / t = α / t · R
v = w · R
- v és la velocitat linial [m / s]
- w és la velocitat angular [rad / s]
- 1 [rad] = 1 / (2 · ∏) [revolucions] ó [voltes]
- R és el radi de la roda [m]
Altres equivalències:
1 [Km] = 1.000 [m]
1 [m] = 100 [cm]
1 [h] = 3.600 [s]
1 [min] = 60 [s]
1 [rad / s] = 60 / (2 · π) [r.p.m.] = 30 / π = 9,55 [r.p.m.]
1 [r.p.m.] = π / 30 [rad / s] = 0,10 [rad / s]
1 [Km / h] = 1.000 [m] / 3.600 [s] = 0,2777 [m / s]
Exemple: Si una roda de bicicleta de 40 [cm] gira a 60 [r.p.m.] a quina velocitat va la bicicleta en [km / h]?
w = 60 [r.p.m.] = 60 · 2 · π [rad] / 60 [s] = 6,28 [rad / s]
v = r · w = 0,4 · 6,28 = 2,51 [m / s] = 2,51 · 3.600 / 1.000 = 9,04 [km / h]
Relació de transmissió:
Indica el nombre de voltes que fa l'eix de sortida (conduït) per cada volta de l'eix d'entrada (motriu).
Si la velocitat angular de l'eix d'entrada és w1 i la de l'eix de sortida és w2, aleshores:
| i = w2 / w1 |
- Si l'eix conduït gira més a poc a poc que el motriu (però farà més força que el motriu), es tracta d'un sistema reductor de velocitat però multiplicador de força:
w2 < w1 w2 / w1 < 1 i < 1 (I també: F2 > F1) - Si l'eix conduït gira més ràpid que el motriu (però farà menys força que el motriu), es tracta d'un sistema multiplicador de velocitat però reductor de força:
w2 > w1 w2 / w1 > 1 i > 1 (I també: F2 < F1) - Si l'eix de sortida gira a la mateixa freqüència angular que el d'entrada, tots dos tenen la mateixa velocitat angular. En aquest cas, però, pot passar que s'inverteixi el sentit de gir.
w2 = - w1 w2 / w1 = - 1 i = - 1 (I també: F2 = F1)
Exemple:
Quan val la relacio de transmissio d'uns engranatges si la roda motriu gira a 40 r.p.m. i la conduida a 20 r.p.m.? Quin tipus de sistema es? Com afecta aixo a la força que fa cada roda?
i = wcond / wmot = 20 / 40 = 0,5 < 1 -> Sistema reductor: La roda conduida va mes lenta que la motriu pero fa mes força
La relació de transmissió es pot calcular, també, a partir dels diàmetres (D, i D2) de les rodes -en el cas de corretges i politges- o el seu número de dents (N1, N2) -en el cas de rodes dentades-
|
i = D1 / D2 i = N1 / N2 |