1. a. Calcula la velocitat angular d'una politja de 30 cm de diàmetre si rep el moviment a través d'una corda que passa per una roda acanalada de 15 cm de diàmetre i que gira a 100 rad/s.
b. És un sistema reductor o multiplicador? Quant val 1 [r.p.m.] en [rad / s] ?
a. w1= 100 rad/s; d1 = 15 cm ; d2 = 30 cm
w1 · d1 = w2 · d2 per tant, w2 = 100·15/30 = 50 [rad /s]
b. reductor
2. a. Determina el radi que ha de tenir una politja que gira a 50 rad/s i que en fa girar una altra de radi 8 cm a 150 rad/s a través d'una corretja.
b. És un sistema reductor o multiplicador?
a. w1 = 50 rad/s ; r2 = 8 cm ; w2 = 150 rad/s
w1 ·r1 = w2 · r2 per tant r1 = 150·8/50 = 24 cm
b. multiplicador
3. Quantes dents ha de tenir una roda dentada que gira a 40 rad/s i engrana amb una altra roda dentada amb 60 dents i velocitat de gir 10 rad/s?
w1=40 rad/s ; z2 = 60 ; w2 = 10 rad/s
w1 · z1 = w2 · z2 per tant z1 = 10 · 60 / 40 = 15 dents
4. a. Considera dos engranatges rectes amb z1 = 12 dents i z2 = 60 dents.
Si w1 = 40 rad/s, a quina velocitat angular gira l'altre engranatge?
b. Hi ha canvi en el sentit de gir del segon engranatge?
a. z1 = 12 ; z2 = 60 ; w1 = 40 rad/s
w1 · z1 = w2 · z2 per tant w2 = 40 ·12/ 60 = 8 rad/s
b. Si.
5. a. Si en el problema anterior posem enmig dels dos engranatges un altre engranatge amb 24 dents, a quina velocitat gira el tercer engranatge?
b. Quina diferència hi ha amb el problema anterior?
a. A la mateixa, doncs si:
abans i = i12 = Z1 / Z2
ara i = i13· i32 = (Z1 / Z3) · (Z3 / Z2) = Z1 / Z2
b. L'engranatge final girarà en el mateix sentit que el primer
6. En una bicicleta el plat té 54 dents i el pinyó 16. Si fas 60 pedalades cada minut:
a. A quina velocitat gira la roda?
b. Calcula la velocitat amb què avança la bicicleta en km/h si el radi de la roda fa 30 cm.
a. z1 = 54 ; z2 = 16 ; w1 = 60 voltes/min
w1 · z1 = w2 · z2 per tant w2= 54 · 60 / 12 = 202.50 rpm
b.
r = 30 cm = 0,3 m
w= 202.5 voltes /min = 202.5 · 2 · π /60 rad/s = 21,20 rad/s
v = w·r per tant v = 21,20 · 0,3 = 6,36 m/s* 1 km/1000 m * 3600s/ 1 hora= 22.9 Km/h
7. a. Calcula la velocitat de rotació del darrer engranatge (núm. 4) d'un tren d'engranatges en el qual el primer gira a 20 rad/s i z1 = 40, z2 = 20, z3 = 30 i z4 = 15, si el núm. 2 i núm. 3 estan muntats sobre el mateix eix.
b. El sistema és reductor o multiplicador?
c.El sentit de gir de la roda núm. 4 és igual que el de la núm. 1?
a. w1=20 rad/s ; z1 = 40 ; z2 = 20 ; z3 = 30 ; z4 = 15
i12 = z1/z2 = 40/20 = 2
i23 = 1
i34 = z3/z4 = 30 /15 = 2
i = i12 · i23 · i34 = 2·1·2 = 4
i = w4/w1 = 4 per tant w4 = 4 · w1 = 4 · 20 = 80 rad/s
b. multiplicador
c. Si
8. Imagina que has de construir un rellotge per posar al pati del teu institut.
Disposes d'un motor elèctric que gira a 40 ∏ rad/s i un sistema reductor amb i= 1 / 200 amb un vis sens fi acoblat a la sortida (z2 = 1).
a. Quantes dents ha de tenir la roda que porta enganxada l'agulla dels minuts?
b. I la de l'agulla dels segons?
a. w (motor) = 40 π rad/s ; i = 1/200
i=w (vis) / w (motor) per tant w(vis) = 40·π /200 = 0,2 π rad/s
z (vis) = 1 ; w (vis) = 0,2 π rad/s
w (agulla minuts) = 1 volta / 60 minuts = 1 / 60 volta / min · 2π / 60 rad /s = π/1800 rad/s
w (vis) · z(vis) = w (agulla) · z (agulla) per tant
z (agulla minuts) = 0,2 π ·1 / (π/1800) = 360 dents
b. w (agulla segons) = 1 volta / minut = 2·π /60 rad/s = π /30 rad/s
w (vis) · z(vis) = w (agulla) · z (agulla) per tant
z (agulla segons) = 0,2 π ·1 / (π/30) = 6 dents
9. La figura representa un muntacàrregues. Un motor elèctric fa girar una roda de diàmetre 15 cm a 60 rad/s i transmet el moviment a una politja de diàmetre 75 cm, a l'eix de la qual hi ha un tambor que, en girar, enrotlla la corda i aixeca la càrrega.
a. Calcula la relació de transmissió del sistema.
b. Si el cilindre sobre el qual s'enrotlla la corda té un diàmetre de 20 cm, a quina velocitat puja la caixa?
a. d1 = 15 cm ; d2 = 75 cm
i= w2/w1 = d1 /d2 = 15/75 = 1/5
b. w1 = 60 rad/s ; d cilindre = 20 per tant radi = 10 cm = 0,1 m
w1·d1=w2·d2 per tant w2 = 15·60 / 75 = 12 rad/s
v = w·r per tant v = 12·0,1 = 1,2 m/s
10. Un vis sens fi que gira a 100 rad/s fa girar una roda dentada de diàmetre 20 cm i amb 50 dents que alimenta una imprenta. Si els fulls tenen una llargada de 30 cm, quanta estona ha de funcionar el vis sens fi per imprimir 100 fulls?
z (vis) = 1 ; w (vis) = 100 rad/s ; d (roda) = 20 cm ; z (roda)= 50 ;
w(roda) · z (roda) = w (vis) · z (vis) per tant w (roda) = 100 · 1 / 50 = 2 rad/s
v=w·r per tant v (roda) = 2 · 10 = 20 cm/s (r = 10 cm ja que el diàmetre és 20 cm)
com fa 20 cm cada segon, i te que imprimir 100 fulls, tenim que la roda ha de girar uns longitud lineal de...
100 fulls = 100 · 30 = 3000 cm
Fem una regla de tres (o factor de conversió) sabent que cada segon gira 20 cm...
3000 cm · 1 segon/20 cm = 3000/20 = 150 segons
