Impedància

El voltatge (o tensió) o la intensitat (o corrent) es poden representar amb l'eina matemàtica del fasor (que té 2 components -part real R i imaginària I).

V = V_R + j · V_I

I = I_R + j · I_I

Són, doncs, nombres complexos. On  j = √(-1)

Definim IMPEDÀNCIA com el quocient entre el fasor de voltatge i la intensitat.

Z = V / I [Ω]

Z = R + j · X

On:

R -> Resistència [Ω]

X -> Reactància [Ω]

Z = 1 / Y

Y = G + j · B

On:

Y -> Admitancia [Ω^-1] ó [S] -Siemens-

G -> Conductància

B -> Susceptància

1. En el cas de la resistència és: 

Z = V / I = R

Impedància Resistiva

2. En el cas del condensador o capacitor de capacitat C [F]:

Z = V / I = Xc

On:

Xc = -1 / (w · C)

Impedància Reactiva (Capacitiva)

3. En el cas de la bobina o inductor d'inductància L {H}:

Z =  V / I = XL

On:

X_L = j · ( w · L)

Impedància Reactiva (Inductiva)

4. En general, per a un circuit compost, en forma rectangular o binomial:

Z = R + j (XL - Xc)

Té una part resistiva, una capacitiva (condensadors) i una inductiva (bobines)

En forma polar:

Z = |Z| • e^jwθ

On θ és l'angle del fasor i |Z| el mòdul o magnitud

Més info

Exercici1:

Calcula la impedància Z en aquests 3 exemples:

• Una resistència de 1 [kΩ] treballant a f = 2 [MHz]
• Un condensador de capacitat C = 47 [μF] treballant a f = 500 [kHz]
• Una bobina d'autoinducció L = 25 [mH] treballant a f = 20 [Hz]

---

Exercici2:

1. V (en polar):

V = |V| · e^{(j · w · t)}

|V| = Vef · √2 = 10 · √2 = 14,14 [V]

w = 2 · Π · f = 2 · Π · 50 = 314,15 [rad / s]

V = 14,14 · e^{(j · 314,15 · t)} [V]

2.  v(t):

v(t) = 14,14 · cos(314,15 · t) [V]

3. Zeq (en rectangular o binomial Z = R + j · X):

Zeq = Z1 || Z2

Z1 = 20 + j · 0,03·314,15 [Ω] = 20 + 9,42j

Z2 = 0 + j · (0,02·314,15 - 1/(10^-5 · 314,15)) [Ω] = j · (6,28 - 318,32) = -312,04j

Zeq = Z1 · Z2 /(Z1 + Z2) = (20 + 9,42j) · ( -312,04j) / (20 + 9,42j -312,04j)

Zeq = (2939,41 - 6240,8j) / (20 - 302,62j)

Zeq = [(2939,41 - 6240,8j) · (20 + 302,62j)] / [(20 - 302,62j) · (20 + 302,62j)]

Zeq =  (1.947.379 + 764.708j) / 91.978 = 21.17 + 8.314j

4. Zeq (en polar Z = |Z| · e^{(j · w · θ)})

|Zeq| = √(0,659² + 1,346²) = 1,5 [Ω]

θ = atan(- 1,346/0,659) = -1,12 [rad]

θ = -64,2 [º]

Zeq = 1,5 · e^-1.12j

5. I (en polar):

I = V / Z = 14,14 · ^{e(j · 314,15 · t)} / 1,5 · e^-1,12j

I = 9,42 · e^{j(314,15 · t + 1,12)}

6. i(t):

i(t) = 9,42 · cos(314,15 · t + 1,12)

7. Ief

Ief = Ip / √2 = 9,42 / 1,4142 = 6,66 [A_RMS]